4. Tulajdonság: pontos előrejelezhetőség valószínűségekkel, avagy Hogyan kezelendők az előrejelezhetetlen rendszerek?
Nyilvánvalóan szokatlan, ha egy fizikai rendszer állapota nem jelezhető előre az előrejelzési időnél távolabbi jövőre. Mi lehet akkor az ilyen rendszerek tudományosan helyes hosszútávú jellemzése? A válasz az eddig tágyalt 3 tulajdonságból következik. A kaotikus attraktor létezése mutatja, hogy csak bizonyos állapotok megengedettek, az attraktort alkotó fraktál elrendezésű pontok (amelyekhez minden mozgás tart). Azt nem tudhatjuk, hogy a megengedett pontok mely sorozata tartozik egy konkrét mozgáshoz, de azt megkérdezhetjük, hogy milyen valószínűséggel fog egy megengedett állapot (pl. a vonalzó lehető leggyorsabban forgó állapota) bekövetkezni a hosszú idejű megfigyelés során.
A kaotikus rendszerek vizsgálata azt mutatja, hogy statisztikai szempontból, vagyis valószínűségekkel, az attraktoron történő mozgás teljes pontossággal leírható. Annak ellenére, hogy az egyedi mozgások előrejelezhetetlenek, az összes mozgás statisztikai tulajdonságai előrejelezhetőek! Azt a "pillangóeffektussal" kapcsolatos pesszimista nézetet, miszerint nem lehetünk biztosak semmiben, érdemes ellensúlyoznunk annak hangsúlyozásával, hogy a kaotikus jelenségekre teljesen pontos statisztikai leírás adható. (Ezért nem lepődhetünk meg azon, hogy az időjárás (és legújabban a klíma) előrejelzése abban az irányban fejlődik, hogy a pontos mennyiségek helyett valószínűségeket adnak meg - hiszen ez a probléma tudományosan helyes kezelése).
Ha szeretnéd látni, hogy a kaotikus inga attraktorának különböző tartományait milyen valószínúséggel látogatja a mozgás, kattints ide. (Itt az érdekesebb látvány érdekében a szöget nem szorítjuk bele a -180, +180 fokos tartományba, az folytonosan változik. A jobb alsó sarokban a felülnézet, a kaotikus attraktor látható.)
Az eloszlás meglehetősen egyenetlen: egy adott állapot valószínűsége egészen más lehet, mint a vele szomszédos pixelé. Ez a furcsa állapot-függés a káosszal kapcsolatos valószínűségek sajátos vonása. Érdemes hangsúlyozni, hogy az ilyen valószínűségek a mozgási egyenlet következményei. Az inga konrét mechanikai problémájában a valószínűségeloszlás létezése a Newton-egyenletből következik!
Hogy néz ki az olyan rendszer valószínűségeloszlása, mely periodikus és a periódusidő egész számú többszöröseinek pillanataiban figyeljük meg? Válasz
Az eloszlás egy csúcs a mintavételezési pillanatoknak megfelelő sebesség, hely adatpárnak megfelelő egyetlen pontban. A káosz tehát végtelenszer bonyolultabb, mint a periodikus mozgás.
Mind a négy eddig vizsgált tulajdonság alapján válaszolj olyan körültekintően, ahogy csak tudsz, arra a kérdésre, hogy mi a káosz? Teljes válasz
A káosz egyszerű rendszerek olyan hosszú idejű viselkedése, amely
- időben szabálytalan, teljesen aperiodikus,
és
- érzékeny a kezdőfeltételekre: kis kezdeti különbségek erősen felnagyítódnak, ezért a mozgás előrejelezhetetlen,
és
- megfelelő nézetben mégsem teljesen szabálytalan, komplex szerkezetű, fraktál tulajdonságot mutat,
és
- hosszúidejű viselkedése pontosan megjósolható a megengedett állapotok valószínűség-eloszlásának megadásával.
Amint az és kötőszó mutatja, a felsorolt tulajdonságok egyszerre vannak jelen: ha egy rendszer aperiodikusan változik hosszú időn keresztül, akkor mozgása előrejelezhetetlen, alkalmasan választott leírásban fraktál szerkezetet mutat, ugyanakkor hosszú idejű viselkedése valószínűségekkel jól jellemezhető.
