II Mozgások felfedezése a legegyszerűbb eljárással

Miután meggyőződtünk arról, hogy a numerikus iterálás hatékonyan közelíti az egzakt mozgást, olyan eseteket tanulmányozunk, melyek nem részei az iskolai anyagnak (soha nem is voltak), a numerikus mozgáskövetési módszerrel mégis könnyen megérthetők.

Először vegyül észre, hogy az $a$ gyorsulást ismerve, amely a sebesség változási sebessége, vagy trendje, a (3) iteráláshoz hasonlóan a sebességet is meghatározhatjuk a $t=n \Delta t$ diszkért pillanatokban: $$ v_{n+1} = v_n + a_n\Delta t. \qquad (4) $$ Itt $a_n$ a test $a$ gyorsulását jelenti az $n \Delta t$ pillanatban. A Newton-egyenlet szerint a gyorsulás az eredő erő és a mozgó test tömegének hányadosa (több test mozgásával az egyszerűség kedvéért nem foglalkozunk). Ha ismerjük az eredő erőt a hely, sebesség és az idő függvényeként, rögtön megkapjuk a gyorsulást is e menyiségek függvényében. Így a Newton-egyenletet le tudjuk fordítani a (4) iterálás nyelvére, ami numerikusan mindig megoldható, a mozgás követhető. Első példáinkban a gyorsulás csak a $v$ sebesség függvénye lesz. A lenti kék linkek mozgáskövetéshez előkészített Excel táblákhoz és kapcsolódó feladatokhoz vezetnek.

Ejtőernyős ugrás: A négyzetes légellenállási erő arányos $v^2$-tel, a belőle adódó gyorsulás $kv^2$ alakú, ahol $k$ konstans. Ez a gyorsulás csökkenti a lefelé mutató $g$ gravitációs gyorsulást, ezért a teljes gyorsulás-kifejezés $$ a = g - kv^2. $$ Ejtőernyős ugrásokban általában a $k=0.2\ 1/\text{m}$ paraméterérték jellemző.

Függőleges hajítás levegőben. A légellenállás hatását vizsgáljuk a függőleges hajításra (ugyanarra, amit az I.modulban tanulmányoztunk) numerikus mozgáskövetéssel, Excel tábla segítségével. A légellenállásból adódó gyorsulás felfelé mozgás során a súllyal azonos irányban mutat, és azzal ellentétesen lefelé jövet, azaz: $$ a=-g-k |v| v $$ (itt értelemszerűen a felfelé mutató irányt tekintjük pozitívnak). Használjuk a játéklabdákra jellemző $k=0.1\ 1/\text{m}$ paramétert.

X

Ez az Excel tábla alkalmas a mozgás követésére. Figyeld meg, hogy az emelkedési és süllyedési fázisok nem szimmetrikusak, hogy a labda nem emelkedik olyan masgara, mint légüres térben, és hogy a visszatérési sebesség kisebb, mint $v_0$. Ez mind a légellenállás következménye. Ellenőrizzük hogy $k=0$-ra visszakapjuk-e az I. modulban látott eredményeket.

Szabadrúgás. Ebben az összefüggésben elsősorban a labda pályája az érdekes. Ehhez a mozgást a vízszintes ($x$) és a függőleges ($y$) irányban is követnünk kell. Ennek megfelelően két iterálás szükséges a $v_x$, ill. $v_y$ sebességkomponensekre. A megfelelő gyorsuláskomponensek $$ a_x = -g-k |v| v_x , \quad a_y = -g-k |v| v_y, $$ ahol $v$ a sebesség nagysága, vagyis $(v_x^2+v_y^2)^{1/2}$. Hasonló iterálások érvényesek az $x$ és $y$ koordinátákra is a mozgás síkjában. Egy jó focista $v_0=40 \text{ m/s}$-al lövi el a labdát. Tegyük fel, hogy a labda kezdősebessége 15° -ot zár be a vízszintessel, vagyis $v_{x,0} = 38.6 \text{ m/s}$, $v_{x,0} = 10.4 \text{ m/s}$, és használjuk a focilabdára korábban meghatározott $k=0.022$ 1/m légellenállási paramétert. Kövessük a labdát a szabadrúgás során.

Általános mozgások. A gyorsulás általában függ az $x$ koordinátától is, mivel a mozgást kiváltó $F$ erő rendszerint helyfüggő, s a Newton-egyenlet szerint $a(x,v)=F(x,v)/m.$. Ekkor együtt kell követnünk a helyet és a sebességet a mozgás során. (Általános esetben, szemben az ejtőernyős ugrással, nem lehet a mozgást kizárólag a helykoordináta alapján felgöngyölíteni.) Ezért párhuzamos iterálással kell követnünk a $v$ sebességet és $x$ helykoordinátát. Mivel a sebesség változási sebessége az $a$ gyorsulás, míg az $x$ helyé maga a sebesség, ezért az Euler-módszernek nevezett következő szabályt kapjuk $$ v_{n+1} = v_n + a_n\Delta t, \quad x_{n+1} = x_n + v_n\Delta t. \qquad (5) $$ Ezek azt írják le, hogy mind az $a_n$ gyorsulás, mind a $v_n$ sebesség állandónak tekinthetők elegendően rövid időintervallumokban a sebesség, ill. a hely megváltozása szempontjából.

Általános mozgás követése tehát a következőképpen történhet. Valamilyen ismert kezdeti $x_0$, $v_0$ hely- és sebesség-adattal indulunk, az erőtörvény alapján ezekből meghatározzuk az $a_0$ kezdeti gyorsulás, és az iterálásokból megkapjuk mind $v_1$-et, mind $x_1$-et. Ezek ismeretében az erőtörvényből következik $a_1$, majd az iterálás folytatódhat tovább. Mindez akárhányszor ismételhető. Az (5) össszefüggés a Newton-törvény lényegét fejezi ki: ha ismerjük az erőtörvényt (a gyorsulást) bármely pillanatra, egyetlen változási ráta, a gyorsulás alapján a mozgás tetszőlegesen hosszan követhető, meg tudjuk jósolni a mozgás lefolyását.

Függőleges hajítás másként, általános mozgásnak tekintve (kézzel kitöltött táblázattal).

Rugóhoz kötött test. Az erő ebben az esetben arányos az $x$ kitéréssel, $F =-Dx$, amiből a rugóhoz kötött $m$ tömegű test gyorsulása $$ a=-(D/m) x.$$ Az egyszerűség kedvéért válasszuk $D/m$-et 1-nek. Kövessük a rezgést az (5) iterálással az $x_0=1$ kezdeti helyzetből kezdősebesség nélkül, $v_0=0$-val indulva $(\Delta t=0.1)$.