III Mozgások felfedezése a pontosított eljárással

Mivel az eddig használt iterálási módszer kényelmes lépésközökkel fizikailag elfogadhatatlan eredményekre vezethet, főleg hosszú időkre, gondoljuk végig, hogyan javítható a módszer. Az (5) közelítéssel kapcsolatosan kritikaként fogalmazható meg, hogy a ($v_n$, $a_n$) változási rátákat a következő $\Delta t$ időintervallum elején vesszük. Nyilván jobb közelítést kapunk, ha a változási rátákat az intervallum közepén, vagyis félegész időlépésekben vesszük. Az (5) iterálás helyett tekintsük a következőt: $$ v_{n+1} = v_n + \class{colorRed}{a_{n+1/2}} \Delta t, \quad x_{n+1} = x_n + \class{colorRed}{v_{n+1/2}} \Delta t, \qquad (6) $$ ahol $\class{colorRed}{a_{n+1/2}}$ és $\class{colorRed}{v_{n+1/2}}$ a gyorsulást ill. a sebességet jelentik a $(n+1/2)\Delta t$ pillanatokban. Ezeket azonban most még nem ismerjük. De miért ne alkalmazhatnánk meghatározásukra újabb iterálásokat? Az eredeti (Euler-) módszert fél időlépéssel, $\Delta t/2$-vel felírva: $$ \class{colorRed}{v_{n+1/2}} = v_n + a_n \Delta t/2, \quad x_{n+1/2} = x_n + v_n \Delta t/2 \qquad (7). $$ A (6)-ban fellépő félegész pillanatbeli $\class{colorRed}{a_{n+1/2}}$ gyorsulás az erőtörvény, vagyis az $a(x,v)$ gyorsulástörvény ismeretében kapható meg $x_{n+1/2}$ és $v_{n+1/2}$ meghatározása után.

A (6), (7) összefüggések megbízhatóbb numerikus eljárást írnak le (az ún. középpont módszert), mely pontosabb az (5) Euler-módszernél. Az egy lépésben elkövetett hiba most általában az időlépés köbével, $\Delta t^3$-bel arányos, szemben az eddigi $\Delta t^2$-tel.

A fentiek illusztrálására alkalmazd a pontosított módszert a függőleges hajítás $x$ koordinátájára, ahogy az I. modulban tettük, vagyis a pontos $v(t)=10-10t$ sebesség-idő függvény ismeretében. Mutassd meg, hogy az eredeti módszerrel $5 \Delta t^2$-nek adódó egylépéses hiba most teljesen megszűnik. Ebben az egyszerű esetben az egzakt mozgást kapjuk a (6) iterálás szellemében, ami arra utal, hogy az új módszerrel általános esetben találunk hibát, de az sokkal kisebb lesz, mint az eredetiben. .

A félegész időlépési sebesség $v_{n+1/2} = 10-10(n\Delta t+\Delta t /2)$. Ezzel az sebességgel a teljes időlépés alatti elmozdulás (6) szerint $$ x_{n+1} = x_n+(10-10n\Delta t-5 \Delta t) \Delta t = x_n+10 \Delta t-10n (\Delta t)^2 - 5 \Delta t^2. $$ Számoljuk ki az egzakt $x(t)=10 t-5 t^2$ hely-idő függvény alapján az ${n+1}$-edik, ill az $n$-edik pillanathoz tartozó helykoordinátát: $$x((n+1)\Delta t)= 10n\Delta t + 10 \Delta t - 5(n^2 + 2n +1) \Delta t^2,$$ $$x(n\Delta t)= 10n\Delta t - 5 n^2 \Delta t^2.$$ A kettő kölönbsége $10 \Delta t - (10n + 5) \Delta t^2.$ A valódi egylépéses elmozdulás tehát azonos az iterálásból kapottal, vagyis az egylépéses hiba esetünkben nulla. Ebben a speciális problémában nem találunk $\Delta t^3$-vel arányos eltérést, általában azonban $\Delta t^3$-ös hiba jellemzi a (6),(7) eljárást.

Rugóhoz kötött test újra. Kövesd a mozgást a pontosított numerikus eljárással.

Rugóhoz kötött test mozgása új nézőpontból. A megjavított pontosság birtokában megismerkedhetünk a mozgások új ábrázolásával: a sebesség - hely ábrázolással, az ún fázistérbeli mozgáskövetéssel. A $v_n$ sebességértékeket (I oszlop)) az $x_n$ helykoordináták (H oszlop) függvényében ábrázoljuk. Ez az ábrázolás általában egy kompakt rajzolatot ad, hiszen az időt kiküszöböltük.

Csillapított rugó. A rugóhoz kötött testre ható fékező erő gyakran egyenesen arányos a sebességgel. Mivel mindig lassítja a mozgást, előjele negatív, az együttható nagyságát 0,2-nek választjuk. A mozgásnak megfelelő gyorsulási szabály így $$ a(x,v)=-x-0,2v. $$ Kövessük a mozgást mind időben, mind az $x,v$ ábrázolásban.

Gerjesztett csillapított rugó. Ha egy külső, periodikus időfüggésű erő is hat a rugóhoz kötött testre, a mozgást gejesztettnek nevezzük. Válasszuk a külső eröt koszinuszos időfüggésűnek, amivel a gyorsulás kifejzése $$ a(x,v,t)=-x-0,2v+\cos(0,8 t) $$ (a külső erő frekvenciája itt 0,8, periódusideje $2 \pi/0,8=7,85$ időegység). Ebben az esetben a gyorsulás már az időtől is expliciten függ, ezért $a_{n+1/2}$-ben az időt pontos értékével, tehát a fél időlépés egész számú többszöröseként kell megadnunk.

Vonzó-taszító rugó. Tekinsünk most egy valamivel bonyolutabb rugóerőt, melynek kifejezésében köbös távolságfüggés is megjelenik (egyelőre csillapítás és gerjesztés nélkül): $$ a(x)=x-x^3. $$ Az erő most taszító, de $x$-szel arányosan, mindaddig, amíg a kitérés kicsi, nagy távolságokból azonban vonzóvá válik: nagy $x$-ekre $-x^3$ dominál. Tanulmányozd a mozgást.

X

Csillapítás hiányaban az energia megmarad, és a lehetséges mozgások periodikusak. Jóval összetettebb rajzolatot adnak azonban, mint a lineáris vonzású hagyományos rugó esetében, amint ez az Excel tábla mutatja.

Csillapított vonzó-taszító rugó. Sebességgel arányos csillapítással (mint a hagyományos rugó esetében is) az eredő gyorsulás $$ a(x,v)=x-x^3-0.2 v.$$ Derítsd fel a mozgást.

A Föld keringése a Nap körül. A pontosított módszer alkalmazásaként vizsgáljunk meg egy síkbeli mozgást is, a Föld keringését a Nap körül. Ez a Nap (aminek tömegét jelöljük $M$-mel) gravitációs vonzásának következtében alakul ki. Az $m$ tömegű Földre ható erő nagysága $\gamma Mm/r^2$ ahol $r=(x^2+y^2)^{1/2}$ jelöli a Naptól mért távolságot. Mivel az erő a Nap felé mutat, vektorként így írható $-\gamma Mm/r^2\ \boldsymbol{r}/r$. Az egyszerűség kedvéért legyen $\gamma M=1$, a gyorsulás két komponense ezzel $$ a_x(x,y)=-x/(x^2+y^2)^{3/2}, \quad a_y(x,y)=-y/(x^2+y^2)^{3/2}. $$ Kövessük a mozgást az $x_0=0.5,\ y_0=0,\ v_{x,0}=0,\ v_{y,0}=1,63$ kezdeti feltételekből indulva.