IV Kaotikus mozgások
A gerjesztett csillapított rugó tulajdonsága, miszerint attraktora olyan típusú, mint a gerjesztetlen, csillapítatlan eset periodikus rezgése, azt sugallhatná, hogy ha gerjesztjük a csillapított vonzó-taszító rugót, akkor az abban beálló hosszú idejű mozgás hasonló lesz a gerjesztetlen, csillapítatlan esetben történőekhez. Az attraktor ezek szerint periodikus lenne, csak más rajzolatú zárt görbe, mint az egyszerű rugó esetében. A helyzet azonban egészen más! A látszólag lényegtelen változás, miszerint az erőtörvényben megjelent egy $x^3$-ös tag, drámai változást okoz: a gerjesztett mozgás kaotikussá válik.
Kaotikus rendszerek. Példaként vizsgáljuk numerikusan a csillapított vonzó-taszító rugó gerjesztett mozgását, melynek gyorsulás függvénye: $$ a(x,v,t)=x-x^3-0,2v+0,3\cos(t). $$
Ez az Excel tábla mutatja, hogy a mozgásban semmi jele sincs a periodicitásank sem az $x(t)$, sem a $v(t)$ függvényben. Ez már csak azért is meglepő, mert a gerjesztő hatás szigorúan periodikus. A káosz elnevezés azon jellegzetes tulajdonságon alapul, hogy semmilyen egyszerű szabály nem olvasható ki a mozgás követése során: semmilyen ismétlődést nem találunk benne, még hosszú idejű megfigyelés után sem (itt 11 periódusnyi hosszúságban). Mondhatjuk, hogy az ilyen mozgás aperiodikus. Ezt mutatja az $x,v$ ábrázolásban kapott kép is: furcsa "gombolyagot" látunk, melyben semmilyen struktúra nem ismerhető fel. A hosszú idejű mozgáshoz ilyen rajzolat tartozik, amit kaotikus attraktornak nevezünk, s ami sokkal bonyolultabb, mint a periodikus attraktorok, amik zárt görbék lennének.
Pillangó effektus. Változtasd meg egész kicsit a kezdőfeltétlet: addjál hozza 0.0001 $x_0=1$-hez, és figyeld meg, mi történik közvetlenül a "return" gomb lenyomása után az $x(t), v(t)$ függvények alakjában és $x,v$ nézetben.