next up previous
Következő: A 16.27 feladat megoldása Fel: megoldások Előző A 16.25 feladat megoldása

A 16.26 feladat megoldása

 Legyen tex2html_wrap_inline15842 az elektronok egyensúlyi sűrűsége, amelyet az ionrács homogénnek és rögzítettnek tekintett pozitív töltése semlegesít. Egyensúlytól való eltérés esetén az elektrongáz tex2html_wrap_inline18500 sűrűségének, ill. tex2html_wrap_inline18502 sebességének lassú és hosszúhullámú változásait a hidrodinamikai egyenletek írják le:
 equation8487

 equation8496
ahol m és e az elektron tömege, ill. töltése, p pedig az elektrongáz nyomása.

Ezeket az egyenleteket ki kell egészítenünk az E elektromos térre vonatkozó egyenlettel, valamint az elektrongáz állapotegyenletével. Mivel lassú változásokat vizsgálunk, az elektrosztatika egyenletét használjuk (elhanyagoljuk az elektromágneses sugárzást):
 equation8504
az állapotegyenletről pedig feltételezzük, hogy jó közelítéssel az ideális gáz állapotegyenlete:
displaymath18508
Az egyensúlytól való eltérést kicsinek tekintve, a fenti egyenleteket linearizálhatjuk tex2html_wrap_inline18510-ban és v-ben:
displaymath18512

displaymath18514
Síkhullámmegoldást tex2html_wrap_inline18516 keresve kapjuk az ún. plazmonok diszperziós relációját:
displaymath18518
ahol tex2html_wrap_inline18520 az ún. plazmafrekvencia.

A környezet hatását az (64) egyenletben egy jól megválasztott Langevin-zajjal lehet figyelembe venni. Ettől kezdve v és E nem lassan változó függvények, s a Maxwell-egyenletekben nem hanyagolhatók el az időderiváltak. Az elektromágneses hullámok ekkor energiát visznek el a rendszerből, s a Langevin-zaj korrelációs függvénye ennek az energiadisszipációnak a nagyságával lesz arányos.

16.26 feladat